【1+sinx分之一的不定积分】在微积分中，求解函数 $ \frac{1}{1+\sin x} $ 的不定积分是一个常见但有一定技巧的问题。本文将总结该积分的求解方法，并通过表格形式展示关键步骤与结果，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、积分思路总结
对 $ \frac{1}{1+\sin x} $ 进行积分时，直接积分较为困难，通常需要进行三角恒等变换或有理化处理。常见的方法包括：
1. 分子分母同乘以 $ 1 - \sin x $，利用平方差公式简化表达式；
2. 使用三角恒等式，如 $ \sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} $，转化为关于 $ \tan(x/2) $ 的有理函数；
3. 换元法，令 $ t = \tan(x/2) $，进一步简化积分形式。
最终目标是将原式转化为更易积分的形式，例如有理函数或标准三角函数的积分形式。
二、关键步骤与结果（表格形式）
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 原式：$ \int \frac{1}{1+\sin x} dx $ | $ \int \frac{1}{1+\sin x} dx $ |
| 2 | 分子分母同乘 $ 1 - \sin x $ | $ \int \frac{1 - \sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} dx $ |
| 3 | 应用平方差公式：$ (1+\sin x)(1-\sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $ | $ \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx $ |
| 4 | 拆分分数：$ \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} $ | $ \int \left( \sec^2 x - \sec x \tan x \right) dx $ |
| 5 | 积分基本公式：$ \int \sec^2 x dx = \tan x $，$ \int \sec x \tan x dx = \sec x $ | $ \tan x - \sec x + C $ |
三、最终结果
$$
\int \frac{1}{1+\sin x} dx = \tan x - \sec x + C
$$
其中，$ C $ 为积分常数。
四、小结
- 本题的关键在于对原式进行有理化处理，将其转化为标准的三角函数积分形式。
- 使用代数变形和基本积分公式即可完成计算。
- 最终结果简洁明了，适用于各类数学分析问题。
如需进一步验证结果，可对结果进行求导，看是否还原原函数：
$$
\frac{d}{dx} (\tan x - \sec x) = \sec^2 x - \sec x \tan x = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{1+\sin x}
$$
因此，积分结果正确无误。